Mundo exterior: Vectores de Rn - Parte I

Buenas!

Traemos una entrada "light", de domingo...

Dejo, como siempre, la zona de temario que veremos:

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

1.8. Vectores de Rn

  1.8.1. Tipos

Existen dos tipos de vectores de Rn (léase "R" como el conjunto de números reales).

 - Listas ordenadas: (x, y, z)
 - Listas desordenadas: {x, y, z}

Es posible encontrar vectores en ambas formas, aunque la más común es la primera (vectores ordenados, como los que casi siempre salen; una matriz 1x3 es un vector).

  1.8.2. Operaciones básicas

    1.8.2.1. Suma

La suma de vectores se hace tal como se hace la suma de determinantes. Componente a componente.

Si no recuerdas cómo se suman determinantes/matrices, aquí puedes verlo.

    1.8.2.2. Producto escalar

El producto escalar, definido como:

n(x, y, ..., z)

Se calcularía como:

(nx, ny, ..., nz)

  1.8.3. Dependencia lineal

Dos vectores son linealmente dependientes (L.D) si y solo si (sii):

E a₁, …, a_n (no todos = 0) |S_i a_iv_i = 0

Por otra parte, son L.I. sii

S_i a_iv_i = 0 (todos a = 0)

Estos conceptos están relacionados con el rango. Definimos el rango con el siguiente ejemplo:

En "R" caben "n" vectores independientes. El rango del vector {v₁, …, v_n} es el número máximo entre ellos que son L.I.

  1.8.4. Subespacios de Rn

"F" es un subespacio de Rn sii "F" es un espacio vectorial y pasa por el origen, es decir (adjunto captura):

Dado un subespacio vectorial conocido, se conocen todas sus combinaciones lineales (anteriores propiedades).

Y bien, hasta aquí la entrada...

Se que los apuntes son algo liosos... pero están más liados aún en mis papeles... pero es solo al principio, luego todo se expone más claro.

En fin, poco a poco vamos avanzando. La próxima entrega sera un "break tecnológico", típico de cuando adquiero un nuevo gadget :-)

Saludos, y...

¡Hasta la próxima!