Mundo exterior: Vectores de Rn - Parte II

Buenas!

Esta entrada vuelve a tratar sobre el mundo exterior... para tratar de nuevo el tema de los vectores de Rn.

Por otra parte, mis proyectos siguen trayectorias diferentes a lo que realmente me gustaría, pero así es la vida y poco se puede hacer con las cosas que son como son...

1. Matrices y vectores 
1. Operaciones básicas
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
2. Propiedades
3. Otras operaciones
1. Traza
2. Simétricas
3. Antisimétricas
4. Determinantes
1. Explicación
2. Determinantes de orden 3
3. Determinantes de orden 4
4. Propiedades
5. Representación geométrica de determinantes de orden 3
5. Rango
6. Inversas
7. Uso de parámetros
8. Vectores de Rn
1. Tipos
2. Operaciones básicas
1. Suma
2. Producto escalar
3. Dependencia / independencia lineal
4. Subespacios de Rn
5. Familias generadoras y bases
6. Otras operaciones
1. Norma euclidiana
2. Producto de vectores
3. Producto vectorial (restringido a R3)
9. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Tipos

8.5. Familiar generadoras y bases

Definimos una familia generadora "V₁, ..., V_n" de la siguiente forma:

"V₁, ..., V_n" es una familia generadora de "F" sii para cualquier elemento perteneciente a "F" éste es una combinación lineal de "V₁, ..., V_n".

Es decir, si "F" es la colección de combinaciones lineales de "V₁, ..., V_n"

Dado un "V₁, ..., V_n" que es familia generadora (FG) de "F", si "V₁, ..., V_n" es L.I. podemos decir que es una base de "F".

Todas las bases de "F" constan del mismo número de elementos (misma dimensión).

Dado un espacio "F" de dimensión "r", podemos afirmar:

• Si hay más de "r" elementos ==> son L.D.
• Si hay "r" elementos ==> si son independientes (como máximo "r" elementos) <==> son generadores (como mínimo "r" elementos)

Ahora hablemos de la otra parte, "F" (la base):

"F" se describe de dos maneras:

 - Por generadores:

(ejemplo)

F = <(1, 2, 0, 1), (-2, 0, 3, 1), (-1, 2, 3, -2)>

Esta opción nos trae dos problemas:

• Es difícil extraer una base
• Es difícil extraer una serie de ecuaciones para "testear" la base

- Por ecuaciones:

F = {(x, y, z, t) | x – 2y = z; 2x + 4z = 3t}

Al usar este sistema, tenemos que tener en cuenta varias cosas:

1. Las ecuaciones no pueden ser cuadráticas (X²)
2. Las ecuaciones no pueden ser trigonométricas (sin/cos)
3. Las ecuaciones no pueden tener términos independientes (x + 1) => Todas las "F" pasan por el origen

Amén de dos problemas:

• Se tienen que "limpiar" las ecuaciones
• Problemas al encontrar una base

Para ello, tenemos el método para pasar de generadores a ecuaciones y viceversa.

- De ecuaciones a generadores

Por si no se lee del todo bien, explico los pasos:

 - Se toman los coeficientes de las ecuaciones y se monta una matriz, ampliando con los resultados
 - Triangulamos por la parte inferior, quedando dos zonas:
     * De la D.P a la izquierda: soluciones
     * De la D.P a la derecha: parámetros
 - Armamos unas nuevas ecuaciones con las soluciones y parámetros
 - Despejamos las soluciones en base a los parámetros
 - Usando los parámetros, creamos un vector que represente todas las soluciones en base a los parámetros.
 - Extraemos factor común donde se pueda
 - Para cada vector, hacemos una "versión" en el que un parámetro vale 1 y el resto 0
 - De la colección anterior obtenemos la base en vectores

De este ejemplo extraemos dos conclusiones:

 - Como tiene dos libertades (parámetros), podemos decir que tiene 2 dimensiones
 - Es un plano (2D) dentro de un espacio de cuatro dimensiones (las ecuaciones tenían cuatro incógnitas).

- De generadores a ecuaciones (doble ejemplo, esta vez)

Veamos el seguimiento de ambos ejemplos:

 - Dado un "F", lo agrupamos en una serie de ecuaciones lineales
 - De estas ecuaciones lineales podemos extraer una matriz (véase que no son más que los vectores "A", "B", y "C" transpuestos), ampliada con las incógnitas.
 - Triangulamos la parte inferior izquierda a la D.P, y obtenemos las ecuaciones transformadas.
 - Tomamos las igualadas a 0, ya que son las L.I, y listo.

Del primer ejemplo, podemos decir que es un plano dentro de un ámbito de cuatro dimensiones.

El segundo ejemplo es algo más rápido; y se puede ver en funcionamiento el primer procedimiento (de ecuación a generador).

Bien, y con esto decir que aquí acaba la segunda parte de los vectores de Rn. La próxima parte (quinta y última entrega del primer tema) seguiremos un poco más con los vectores de Rn, y veremos también el resto de tema.

Espero que os guste, y....

¡Hasta la próxima!