Mundo exterior: Matemáticas - Tema II (Inecuaciones)

Buenas!

Llevaba tiempo sin escribir... en parte es "buena señal", ya que eso indica que hay algunos cambios.

Y sobre eso hablaremos antes de meternos de lleno en las matemáticas (funciones de diversas variables).

Siendo concretos, hay dos temas a comentar:

a) Un par de cambios
b) Un nuevo hilo "bloguero" a raíz de los cambios anteriores.

a) Ayer (jueves 25/abril) se celebró en mi ciudad el campeonato local de Robocode. Para el que no conozca este proyecto, lo explico brevemente:

Tomas un código fuente JAVA (también está la versión en C, que aún no he probado), y con él programas un tanque (robot). Esta programación no se basa en eventos interactivos (es decir, no lo tripulas, simplemente lo "sueltas" en el campo de batalla), sino en eventos a tiempo real. Principalmente hay cuatro interacciones que hacen saltar estos eventos:

 - El tanque choca contra una pared
 - El tanque choca contra otro tanque
 - El tanque es golpeado por una bala
 - El tanque detecta otro tanque

En base a estos eventos podemos "decirle" al tanque que haga ciertas cosas, como, por ejemplo:

"Cuando detectes otro tanque, dispara".

Obviamente, en JAVA, usando la API de Robocode.

Pues bien, me presenté, así como en la anterior edición (en la que gané en el sector individual), y este año si bien no rasqué nada en individual sí que quedé subcampeón en la modalidad de equipos (un grupo de 5 tanques programados por una persona).

Y me llevé como premio un disco duro externo WD passport de 2tb con conexión USB 3.0

De momento su uso está siendo pensado, ya que en casa tengo otro disco externo de 2tb...

b) Dejaré en la lista de hilos un tema dedicado a mi próxima creación para el próximo campeonato de Robocode.

Es decir, documentaré desde el inicio de la idea (ya en mi cabeza) hasta las clases JAVA que use.

Y bien, vayamos ahora a las matemáticas!

Entramos en el tema II, funciones de diversas variables.

En esta entrada veremos (de momento) las inecuaciones, a modo de introducción.

Antes de entrar en temario, vamos a definir formalmente una función:

f: Rⁿ  à R^m

Es decir, toman un espacio de Rn (véase tema anterior) y lo adaptan a Rm. Ni "n" ni "m" tienen por que ser iguales o siquiera guardar un orden específico.

Ahora si, vayamos a las inecuaciones.

¿Qué es una inecuación?

Es una desigualdad que marca una relación entre valores conocidos y valores desconocidos. Un ejemplo:

2x - 4 > (2/3) - 7x

Vamos a resolverla:

[Pasamos -7x de un lado al otro como +7x, mientras que -4 lo pasamos como +12/3 a la otra parte]

9x > 14/3

x > 14/27

Como se puede apreciar, no es más que un poco de sentido común y aplicar las reglas de las ecuaciones. Amén de tener en cuenta una serie de cosas:

• No simplificar ninguna variable
• No multiplicar por "X" (o "Y", o ...)
• No dividir por "X" (...)
• Mantener las proporciones (hemos de tener en cuenta que al ser inecuaciones, hemos de vigilar que se mantenga la desigualdad)

La inecuación que hemos visto antes era una simple (1º grado). Vamos ahora con las inecuaciones de 2º grado:

x² + x >2

x² + x – 2 > 0

x² + x – 2 = 0

x = 1; x = -2

Expliquemos:

Primero "inigualamos" a 0. Una vez hecho, lo pasamos a una ecuación de 2º grado normal, y calculamos los valores de X. De ahí obtendremos lo que llamaremos "puntos de corte". Lo podemos representar así:

Vemos tres zonas: rojo, azul, y verde. La primera y la tercera toman valores positivos (>0), y ya que lo que buscamos es una x tal que sea positiva, podemos concluir que la solución a la inecuación es el conjunto:

(-∞, -2)U(1, +∞)

Con este concepto claro, vayamos ahora un paso más allá: inecuaciones racionales. Como antes, un ejemplo que lo ilustre:

(x² + x) / (x + 3) >= 2

((x² + x) / (x + 3)) – 2 >= 0

(x² - x - 6) / (x + 3) >= 0

a) x² - x – 6 = 0

x = 3;x = -2

b) x+ 3 = 0

x = -3

Expliquemos: 

Dejamos "desigualado" a 0 (como antes). Una vez hecho, intentamos simplificar (en este caso, hemos "subido" el 2 multiplicado por "x+3" y lo hemos sumado al numerador). Ahora solo nos falta igualar tanto el numerador como el denominador a 0; esto nos dará dos ecuaciones que podemos calcular, obteniendo dos juegos de soluciones ("a" y "b").

De nuevo, tenemos más puntos de corte. En este caso, algo así:

Vamos a explicar esta confusión de números, colores y líneas:

La franja de arriba corresponde a la ecuación del numerador; la de arriba al denominador. En ambas están marcados los cambios de signos. A saber:

Numerador: Rojo > 0, azul < 0, violeta > 0

Denominador: Naranja < 0, verde > 0

Las líneas grises que cruzan ambas zonas son las soluciones anteriores (-3, -2, y 3). Esto crea cuatro zonas "comunes", que serán sobre las que calcularemos la solución.

Para saber el signo de estas zonas, tenemos que "sumar" (usando la ley de los signos) los resultados obtenidos en las zonas de cada ecuación.

Ya que la primera zona (la de más a la izquierda) es "positivo + negativo", obtenemos "negativo". Vamos haciendo para las cuatro zonas.

Así, ya que buscamos un "x >= 0", podemos concluir que la solución es:

(-3, -2] U [3, ∞)

A continuación, quedan dos pasos de dificultad, que veremos a la vez (escaneado de mis viejos apuntes):

 - Inecuaciones don dos variables

 - Inecuaciones de 2º grado con dos variables

El procedimiento para resolver ambas es similar al anterior:

"Desigualamos" a 0, pasamos a ecuación normal, despejamos "y", y usamos el resultado como una función (f(x)). Seguidamente representamos la función, la cual nos delimita las zonas (así como antes eran líneas, ahora son funciones). Basta con tomar vectores (a, b) estratégicamente para saber el signo de las zonas, para obtener la zona que nos pida la inecuación.

Y con esto tenemos cubierta la primera parte del tema II.

Como siempre, ¡Hasta la próxima!