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Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (Curvas de nivel, gradientes, etc)

Buenas!

Volvemos de nuevo con las matemáticas. Esta entrada tratará sobre curvas de nivel, gradientes, derivadas de una función en un punto... vamos por partes:

Curvas de nivel:

Cuando hablamos de las curvas de nivel de una función de dos (o varias) variables, solemos hacerlo como "la curva de nivel con z=k" (donde k es un número entero).

Esta curva de nivel es una función lineal que transforma (en el caso de las funciones de dos variables) un espacio de R2 en un espacio de R.

¿Y en qué consiste? En hallar todos los puntos de f(x,y) en los que ésta valga "k"; dicho de manera resumida:

f(x,y) = k

Veamos, como siempre, un ejemplo:

f(x,y) = 4 – x2 – 2y2

Si queremos encontrar la curva de nivel de esta función con "k=0", tendríamos:


4 – x2 – 2y= 0;
x2 + 2y2 = 4

Y esto, como se puede ver, es una elipse con centro (0, 0) y radio sqrt(2)

Para la misma función, la curva de nivel con "k=2", sería:

4 – x2 – 2y= 2;
x2 + 2y2 = 2

Si hacemos varias curvas de nivel (k=0, k=1, k=2...), obtendríamos un conjunto de elipses concéntricas, con centro en (0, 0).

Es decir:

4 – x2 – 2y= k;
x2 + 2y2 = 4 - k;

Existe si 4 - k >= 0 (si k <= 0)

Obtenemos una elipse con centro (0, 0) y radio [(±sqrt(4 - k), 0), (0, ±sqrt((4 - k) / 2))]

Bien, ahora que ya sabemos cómo hacer curvas de nivel, es hora de pasar a las derivadas en un punto.

Derivadas de una función de varias variables en un punto

Definimos la derivada de una función de varias variables en un punto como el límite de un cociente incremental. 

Para resolver este tipo de derivadas, suele ser necesario el uso de derivadas parciales.

¿Qué es una derivada parcial? Es asumir una variable como tal, y el resto como constantes. Teniendo esta cláusula asumida, procedemos a hacer la derivada de la función como tal, aplicando más tarde (si lo hubiera) el conjunto de valores dados en la derivada.

Vamos a verlo mejor con un ejemplo:

Partimos de una función:

f(x,y) = x2y – 3x + e2y


Y queremos obtener la derivada de esta función en el punto (2, -3). Así, procedemos a hacer las derivadas parciales de "x" e "y".

df/dx = 2xy – 3 + 0
df/dy = x2 + 0 + 2e2y


Comprobamos como, mediante las reglas básicas de derivación podemos obtener estas expresiones.

Ahora no queda más que aplicar los valores dados en el enunciado, y obtenemos un vector (x, y) tal que:

f'(x, y) (2, -3) = (-15, 4,005)

A este vector se le llama "gradiente". Vamos a ello:

Gradientes:

Veamos algunas de sus propiedades:
  • La dirección y el sentido de derivada direccional máxima es cuando el vector (v1, v2) es el gradiente. Este pendiente máximo (derivada direccional) vale la longitud del gradiente (ya que cos = 1)
  • La dirección y el sentido de derivada direccional mínima es cuando el vector (v1, v2) es la inversa del gradiente (ya que cos = -1)
  • Si el vector (v1, v2) es perpendicular al gradiente de la función en (a, b), la derivada en el punto (a, b) de f(v1, v2) es 0.
Ahora, veamos qué pasa si los combinamos con las curvas de nivel:

Si las líneas de la curva de nivel de una función están juntas entre si, significa que, a poca variación de "x", hay mucha variación de "y", y, por tanto, el gradiente de f(x,y) es más grande.

Suponiendo que el punto (x, y) está cerca de (a, b):

f(x,y) ≈ f(a,b) + (x – a)*(df/dx) + (y – b)*(df/dy) ≈ f(a,b) + (x – a, y – b) * grad(f(a,b))

Y definimos el plano tangente "Z" como:

Z = f(a,b) + (x – a, y – b) * grad(f(a,b))
(a ≈ x, b ≈ y)

Si el plano "Z" es nulo ("Z" = 0), nos encontramos ante un punto de inflexión:

 - Máximo
 - Mínimo
 - Max/Min

La utilidad de esto lo veremos en la próxima entrada, dedicada íntegramente a derivadas dobles.

Así, el planning queda así:

 Parte IV: derivadas dobles
 Parte V: ejemplos
 Parte VI (anexo): utilidades y tabla de derivadas inmediatas

Como siempre, ¡Hasta la próxima!