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Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (derivadas segundas)

Buenas!

Llevaba algún tiempo sin escribir... y es que vuelvo a andar liado y hasta arriba!

La parte positiva es que me siento inusualmente activo... jejeje. Por otra parte, queda poco para acabar este tema matemático y volver a saco con COBOL.

En mis ratos libres hago mis pequeñas investigaciones con COBOL para adaptar los requerimientos de la app... también he tenido (recientemente) una revelación: ¿se podría, de alguna manera, tratar un sudoku como una matriz - o conjunto de ellas? en ello estoy, también.

En fin, dejémonos de divagaciones y vamos a las matemáticas.

Esta entrada tratará de segundas derivadas.

Definimos las derivadas segundas como una función lineal que transforma el espacio de R2 en R.

Podríamos aventurarnos a lanzar una primera ecuación correspondiente a una segunda derivada en una función de varias variables, a saber:

f(x,y) ≈ f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) + ½ [fxx(a,b)(x-a)2 + 2fxy(a,b)(y-b) + fyy(a,b)(y-b)2]

f(x,y) ≈ f(a,b) + grad(f(a,b)) * R1 + ½ * R2 * H * R1

donde (por ejemplo) fxx es la derivada parcial de "x" sobre la derivada parcial de "x"; es decir, se aplican varias derivadas parciales sucesivas, tomando como variable la variable indicada.

Por otra parte, R1, R2, y H son matrices, tales que:

R1 = x-a
         y-b

R2 = (x-a   y-b)


H = fxx    fxy
       fyx   fyy

A "H" se le conoce como matriz Hessiana, y se suele denotar como "H(a,b)".

En el caso que nos atañe (funciones de dos variables), "H" es una matriz 2x2, y se dice que tiene dos valores propios (vaps): fxx y fyy (ya que fxy = fyx).

Veamos qué pasa con estos vaps:
  • si det(H) = 0: alguno de los vaps. es 0
  • si det(H) > 0: los dos vaps son mayores que 0, por tanto la función está por encima del plano "z"
    • si (a+b) > 0: H(a,b) es simétrica, cuadrada, y se puede diagonalizar.
  • si det(H) < 0: los dos vaps son menores que 0, por tanto la función está por debajo del plano "z"
    • si (a+b) > 0: H(a,b) es simétrica, cuadrada y se puede diagonalizar.
En caso que sea 0, no nos reporta ninguna información útil (al parecer).

Veamos qué son los vaps. de H:

vaps(H(a,b)) = l1, l2
l1 * l = det(H) = fxx*fyy-fxy2
l1 + l = fxx + fyy

veamos un ejemplo en el que se aplique todos estos conceptos:

f(x,y) = x2 + y/3 + xy2
Derivada segunda en el punto (7,2)
f(7,2) = 49 + 2/3 + 7*4 = 233/3
fx = 2x + y2 => en (7,2) = 18
fy = 1/3 + 2xy => en (7,2) = 85/3
fxx = 2
fxy = fyx = 2x
fyy = -2y

aplicamos fórmulas:

z = 233/3 + 18(x-7) + 85/3(y-2)

H(a,b) = 2    2y
            2y  2x

H(7,2) = 2   4
            4  14

det(H(7,2)) = 12
2 + 14 = 16
_____________
vaps > 0

Plano tangente:

Z = z + ½(2(x-7)2 + 2*4(x-7)(y-2) + 14(y-2)2)

Visto el ejemplo, pasemos a un inciso en las derivadas segundas: extremos relativos.

Para obtener los extremos relativos de una función de dos variables debe cumplirse lo siguiente:

fx = 0
fy = 0

Entonces, usando las fórmulas anteriores, obtendremos varios "juegos" de puntos. Basándose en los vaps de H(a,b), podemos saber qué tipo de extremo relativo estamos tratando:
  • si los dos vaps > 0: mínimo
  • si los dos vaps < 0: máximo
  • si un vap > 0 y otro vap < 0: intersección (hacia un eje es mínimo, hacia otro es máximo)
  • si algún vap = 0: no aporta información
Para obtener esto puntos, debemos ejecutar lo siguiente:

 - Obtenemos "fx" y "fy"
 - Obtenemos "fxx", "fxy", "fyy"
 - Igualamos "fx" y "fy" a 0, creando un sistema de ecuaciones
 - Resolvemos el sistema de ecuaciones
 - Para cada juego de soluciones, aplicamos H(a,b)

Y bien, con esto acabamos la cuarta entrega del segundo tema... las dos próximas serán cortas (ejemplos y utilidades).

Os dejo, y como siempre, ¡Hasta la próxima!