Mundo exterior - Matemáticas: Tema II (fuciones de varias variables - ejemplos generales)

Buenas!

Ha sido tiempo sin escribir (creo)... como siempre, ando de culo!

En fin, se acerca el final de este segundo tema, con lo que se acerca también el inicio de la siguiente fase de la aplicación Remote Tools.

En esta entrada veremos varios ejemplos, que servirán para afianzar y repasar conceptos vistos con anterioridad.





Ejemplo 1: puntos críticos

f_(x,y) = e^x+y(x² – y² + 3)

Punto crítico: cuando grad(f_(a,b)) = 0

f_x = e^x+y(x² – y² + 3) + e^x+y * 2x = 0

f_y = e^x+y(x² – y² + 3) + e^x+y * (-2y) = 0

___________

e^x+y(x² – y² + 3 + 2x) = 0

e^x+y(x² – y² + 3 – 2y) = 0

2 soluciones:

e^x+y = 0 (imposible)

x² – y² + 3 + 2x = 0 && x² – y² + 3 – 2y = 0 (posible)

(a) x² – y² + 3 + 2x = 0

(b) x² – y² + 3 – 2y = 0

(a) – (b) = 2x + 2y = 0; y = -x (c)

Aplicamos (c) sobre (a):

x² – (-x)² + 3 + 2x = 0; 2x = -3

Solución: x = -3/2; y = 3/2

Obtenemos las segundas derivadas:

f_xx = e^x+y(x² – y² + 3 + 2x) + e^x+y(2x + 2)

f_xy = f_yx = e^x+y(x² – y² + 3 + 2x) + e^x+y(-2y)

f_yy = e^x+y(x² – y² + 3 + 2x) + e^x+y(-2y - 2)

H_{(-3/2, 3/2)} = -1    -3

                   -3    5

det(H) = -4; es un mínimo/máximo.

Aquí revisamos los conceptos de derivadas parciales, derivadas dobles, gradiente, y matriz Hessiana. Vamos ahora con un otro ejemplo, algo más "abstracto"

Ejemplo de parámetros (evaluar puntos críticos):

f_(x,y) = x² – y² + axy

f_x = 2x + axy = 0

f_y = -2y + ay = 0

Transformamos en matriz:

2    a  | 0

a   -2 | 0

Triangulamos:

2    a         | 0

0    a² + 4 | 0

Ya que n² + m = 0 no se puede dar en R (n² siempre >= 0), podemos decir que es un S.C.D. La única solución viable es:

x = 0;y = 0

f_xx = 2

f_xy = a

f_yy = -2

H_(0,0) = 2     a

            a     -2

det(h) = -4 – a² (siempre < 0), por tanto es un mínimo/máximo

Con este ejemplo hemos visto cómo resolver el mismo caso, pero cuando parámetros intervienen en el caso.

Y hasta aquí por hoy. La próxima entrada veremos algunas cosas útiles (como, por ejemplo, una tabla de derivadas).

Como siempre, ¡Hasta la próxima!